Conocimientos adicionales recomendados
IntroducciónUno de los problemas básicos de los Modelos Ocultos de Markov es el cálculo de la probabilidad de una secuencia de observables dado un modelo μ = (π,A,B). El objetivo es por tanto calcular eficientemente P(O | μ). Probabilidad de una secuencia S de estados Supongamos una secuencia de estado . La probabildad de esta secuencia es:
Probabilidad de una observación O dada una secuencia de estado S La probabilidad de observar cuando se da precisamente esta secuencia de estados S es:
Cada P(ot | qt,μ) corresponde con el valor de Probabilidad de una observación O dado un modelo μ Por tanto, para obtener la probabilidad de una secuencia O de observables dado un modelo μ, deberíamos calcular la probabilidad de O para cada una de las secuencias posibles S.
El cálculo de P(O | μ) tal y como se muestra es impracticable; sólo para 10 estados y 10 observaciones sería necesario realizar del orden de 1011 operaciones. Para reducir esta complejidad se emplean estrategias de programación dinámica como los algoritmos forward y backward. Se recomienda revisar la formalización habitual de un Modelo Oculto de Markov para comprender cada uno de los elementos en la formulación de estos dos procedimientos. Procedimiento hacia adelanteCálculo de αt(i)Consideramos la variable αt(i) como:
Dado el modelo μ, αt(i) es la probabilidad de observar y estar en el hasta el instante de tiempo t en el estado i. Cálculo hacia adelante de la probabilidad de una secuencia de observaciones. Inicialización α1(i) = πibi(o1),
Recurrencia
, Terminación
Ejemplo de cálculo de α4(3)El esquema muestra los estados y probabilidades necesarias para el cálculo de α4(3):
Cálculo hacia atrásCálculo de βt(i)Consideramos la variable βt(i).
Dado el modelo μ, βt(i) es la probabilidad de la secuencia de observación desde el instante de tiempo t + 1 hasta el final, cuando el estado en el instante de tiempo t es i. Inicialización βT(i) = 1,
Recurrencia , , Terminación
Ejemplo de cálculo de β2(3)El esquema muestra los estados y probabilidades necesarios para el cálculo de β2(3) para un modelo de 5 estados y una secuencia de observaciones de longitud 5.
Complejidad computacionalTanto el procedimiento hacia adelante como el algoritmo backward, requieren del orden de N2T operaciones; muy inferior a 2TNT − 1 operaciones (N es el número de estados y T es la longitud de la secuencia de observaciones) que son necesarias si se calcula P(O,S | μ) para todas las posibles secuencias S del modelo. El cálculo de los βt(i) servirán - junto a los αt(i) - para contestar las otras dos preguntas fundamentales de los Modelos Ocultos de Markov:
Véase tambiénCategoría: Bioinformática |
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