Banda prohibida

En la física del estado sólido y otros campos relacionados, la banda prohibida (o gap) es la diferencia de energía entre la parte superior de la banda de valencia y la parte inferior de la banda de conducción. Está presente en aislantes y semiconductores.

La conductividad eléctrica de un semiconductor intrínseco (puro) depende en gran medida del la anchura del gap. Los únicos portadores útiles para conducir son los electrones que tienen suficiente energía térmica para poder saltar la banda prohibida, la cual se define como la diferencia de energía entre la banda de conducción y la banda de valencia. La probabilidad de que un estado de energía E₀ esté ocupado por un electrón se calcula mediante las estadísticas de Fermi-Dirac. Una aproximación, la de Boltzmann, es válida también si se cumple E₀ > > E_F, donde E_F es el nivel de Fermi. La aproximación de Boltzman viene dada por:

donde:

e es la función exponencial

E_g es la energía de banda prohibida

k es la constante de Boltzmann

T es la temperatura

La conductividad es un efecto no deseado, y los materiales con un ancho de banda prohibida mayor ofrecen un mejor comportamiento. En los fotodiodos de infrarrojos se usa un gap pequeño para permitir la detección de fotones de baja energía.

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Banda prohibida superconductora

La banda prohibida superconductora Δ, a veces conocida como gap superconductor, a pesar de su nombre, no está relacionada con la banda prohibida de semiconductores y aislantes, sino con la energía necesaria para romper el "enlace" que une a dos electrones que están formando un par de Cooper (mientras que cuando un electrón se encuentra en el estado normal, su energía cinética puede ser modificada una cantidad arbitrariamente pequeña). Si la energía aplicada es inferior a 2Δ (el doble, debido a que un par se compone de dos electrones, y la banda prohibida se refiere a la energía por electrón), no es posible romper el par, y por lo tanto se puede decir que "no sucede nada" (es decir, los electrones no absorberán fonones cuya energía sea inferior a dicha cantidad).

Más concretamente, la banda prohibida superconductora es la energía por electrón entre el estado fundamental superconductor y el primer estado excitado.

La banda prohibida es máxima en el cero absoluto, y va disminuyendo a medida que aumenta la temperatura, hasta anularse cuando se alcanza la temperatura crítica (es decir, cuando la muestra deja de ser superconductora debido a que la energía de enlace del par de Cooper es mayor que cero).

La ecuación de la banda prohibida

La teoría BCS llega, aplicando la física cuántica, a una importante ecuación que desenvuelve un papel central en dicha teoría, y se suele conocer como ecuación de la banda prohibida o bien ecuación del gap:

donde k_B es la constante de Boltzmann, ε_k es la energía cinética sobre el nivel de Fermi y V es el potencial de interacción entre los electrones del par de Cooper (que en la aproximación propuesta por Cooper es constante siempre que trabajemos cerca del nivel de Fermi, y nula cuando estemos fuera).

Lo que queremos es obtener el valor de la banda prohibida en función de la temperatura, es decir Δ = Δ(T), dado que de esta manera podríamos poner las propiedades que dependen de la banda prohibida en función de la temperatura (lo cual es importante, porque a la hora de realizar experimentos la temperatura será la variable independiente, cosa que no podemos hacer con la Δ). La ecuación es demasiado complicada como para obtener el valor exacto de Δ, pero se puede calcular numéricamente con programas informáticos convirtiendo el sumatorio en una integral. De esta manera, se obtiene una curva con las siguientes propiedades:

• Cuando T ~ 0, la energía de la banda prohibida es prácticamente constante (su tangente es horizontal en ese punto), tal que Δ(T) es aproximadamente igual a Δ(0),
• Cuando T ~ T_c, Δ(T) decrece rápidamente tal que tiene aproximadamente la forma de

(Más abajo, en la sección Enlaces externos hay un enlace a la página de HyperPhysics que contiene un gráfico con la forma de Δ = Δ(T)).

Gracias a la ecuación de la banda prohibida es posible calcular muchas cantidades termodinámicas en superconductores como la entropía, el calor específico, la energía interna o la energía libre en función de la temperatura, lo cual es fundamental para predecir resultados experimentales.

Véase también

• Semiconductor
• Hueco de electrón
• Transistor de efecto de campo
• Fotodiodo
• Semiconductor
• Banda de valencia
• Banda de conducción

Enlaces externos

Banda prohibida superconductora

• «Energy Gap in Superconductors as a Function of Temperature», sección de una página de HyperPhysics donde aparece un gráfico que muestra la relación entre la banda prohibida superconductora y la temperatura (tanto la curva predicha por la teoría BCS, como los valores experimentales para el tantalio, el estaño y el niobio) (en inglés), accedida el 27 de mayo de 2008.