Determinante de Slater

El determinante de Slater es una técnica matemática de la mecánica cuántica que se usa para generar funciones de ondas antisimétricas que describan los estados colectivos de varios fermiones y que cumplan el principio de exclusión de Pauli.

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Este tipo de derminantes fueron nombrados haciendo referencia a John C. Slater, físico y químico teórico americano.

Dos partículas

Para ilustrar su funcionamiento podemos considerar el caso más simple, el de dos partículas. Si y son las coordenadas (espaciales o espín-orbitales) de la partícula 1 y la partícula 2 respectivamente, podríamos generar la función de onda colectiva Ψ como el producto de las funciones de onda individuales de cada partícula, es decir

Esta expresión es conocida cómo el producto de Hartree. De hecho, este tipo de función de ondas no es válido para la representación de estados colectivos de fermiones ya que esta función de ondas no es antisimétrica ante un intercambio de partículas. La función debe satisfacer la siguiente condición

Es fácil comprobar que aunque el anterior producto de Hartree no sea antisimétrico ante el intercambio de partículas, la siguiente combinación lineal de estos productos sí que lo es

donde hemos incluido un factor para que la función de ondas esté normalizada convenientemente. Esta última ecuación puede reescribirse como un determinante de la siguiente forma

conocido como el determinante de Slater de las funciones χ₁ y χ₂. Las funciones así generadas tienen la propiedad de anularse si dos de las funciones de ondas de una partícula fueran igual o, lo que es equivalente, dos de los fermiones tuvieran en el mismo estado cuántico. Esto es equivalente a satisfacer el principio de exclusión de Pauli.

Generalización a N partículas

Esta expresión puede ser generalizada sin gran dificultad a cualquier número de fermiones. Para un sistema compuesto por N fermiones, se define el determinante de Slater como

El uso del determinante como generador de la función de ondas garantiza la antisimetríca con respecto al intercambio de partículas así como la imposibilidad de que dos partículas estén en el mismo estado cuántico, aspecto crucial al tratar con fermiones.

En el método de Hartree-Fock, un único determinante de Slater se usa como aproximación a la función de ondas electrónica. En métodos de cálculo más precisos, tales como la interacción de configuraciones o el MCSCF, se utilizan superposiciones lineales de determinantes de Slater.

Bibliografía

• J. C. Slater, Molecular Energy Levels and Valence Bonds. Phys. Rev. 38, 1109 - 1144 (1931).