Espacio de Hilbert

En matemáticas, un espacio de Hilbert es un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interior. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto de extensión de Fourier, ciertas transformaciones lineales tales como la transformación de Fourier, y son de importancia crucial en la formulación matemática de la mecánica cuántica. El espacio de Hilbert y sus propiedades se estudia dentro del análisis funcional.

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Ejemplos
3 Operaciones en los espacios de Hilbert
- 3.1 Bases
- 3.2 Complementos y proyecciones ortogonales
4 Reflexividad
5 Operadores acotados
6 Operadores no acotados
7 Referencias

Introducción

Como se explica en el artículo dedicado a los espacios de producto interior, cada producto interior <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo, da lugar a una norma ||.|| que se define como sigue:

$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$

Decimos que que H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma. Completo en este contexto significa que cualquier sucesión de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio, en el sentido que la norma de las diferencias tiende a cero. Cada espacio de Hilbert es así también un espacio de Banach (pero no viceversa).

Todos los espacios finito-dimensionales con producto interior (tales como el espacio euclídeo con el producto escalar ordinario) son espacios de Hilbert. Esto permite que podamos extrapolar nociones desde los espacios de dimensión finita a los espacios de Hilbert de dimensión infinita (por ejemplo los espacios de funciones). Sin embargo, los ejemplos infinito-dimensionales tienen muchos más usos. Estos usos incluyen:

La teoría de las representaciones del grupo unitarias.

La teoría de procesos estocásticos cuadrado integrables.

La teoría en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales parciales, en particular formulaciones del problema de Dirichlet.

Análisis espectral de funciones, incluyendo teorías de wavelets.

Formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica.

El producto interior permite que uno adopte una visión "geométrica" y que utilice el lenguaje geométrico familiar de los espacios de dimensión finita. De todos los espacios vectoriales topológicos infinito-dimensionales, los espacios de Hilbert son los de "mejor comportamiento" y los más cercanos a los espacios finito-dimensionales.

Los elementos de un espacio de Hilbert abstracto a veces se llaman "vectores". En las aplicaciones, son típicamente sucesiones de números complejos o de funciones. En mecánica cuántica por ejemplo, un conjunto físico es descrito por un espacio complejo de Hilbert que contenga las "funciones de ondas" para los estados posibles del conjunto. Véase formulación matemática de la mecánica cuántica.

Una de las metas del análisis de Fourier es facilitar un método para escribir una función dada como la suma (posiblemente infinita) de múltiplos de funciones bajas dadas. Este problema se puede estudiar de manera abstracta en los espacios de Hilbert: cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal, y cada elemento del espacio de Hilbert se puede escribir en una manera única como suma de múltiplos de estos elementos bajos.

Los espacios de Hilbert fueron nombrados así por David Hilbert, que los estudió en el contexto de las ecuaciones integrales. El origen de la designación, aunque es confuso, fue utilizado ya por Hermann Weyl en su famoso libro la teoría de grupos y la mecánica cuántica publicado en 1931. John von Neumann fue quizás el matemático que más claramente reconoció su importancia.

Ejemplos

En los siguientes ejemplos, asumiremos que el cuerpo subyacente de escalares es $\mathbb{C}$ , aunque las definiciones son similares al caso de que el cuerpo subyacente de escalares sea $\mathbb{R}$ .

Espacios euclideos

El primer ejemplo, que ya había sido avanzado en la sección anterior, lo constituyen los espacios de dimensión finita con el producto escalar ordinario.

En otras palabras, $\mathbb{C}$ ⁿ con la definición de producto interior siguiente:

$\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n \overline{x_k} y_k$

donde la barra sobre un número complejo denota su conjugación compleja.

Espacios de sucesiones

Sin embargo, mucho más típico es el espacio de Hilbert infinito dimensional.

Si B es un conjunto, definimos $\ell^2(B)$ sobre B, de la forma:

$\ell^2(B) =\left\{ x:B \rightarrow \mathbb{C}:\sum_{b \in B} \left|x \left(b\right)\right|^2 < \infty \right\}$

Este espacio se convierte en un espacio de Hilbert con el producto interior

$\langle x, y \rangle = \sum_{b \in B} \overline{x(b)} y(b)$

para todo x e y en $\ell^2(B)$ .

B no tiene por que ser un conjunto contable en esta definición, aunque si B no es contable, el espacio de Hilbert que resulta no es separable.

Expresado de manera más concreta, cada espacio de Hilbert es isomorfo a uno de la forma $\ell^2(B)$ para un conjunto adecuado B. Si B = N, se escribe simplemente $\ell^2$ .

Espacios de Lebesgue

Éstos son espacios funcionales asociados a espacios de medida (X, M, μ), donde M es una σ-álgebra de subconjuntos de X y μ es una medida contablememte aditiva en M. Sea L² _μ(X) el espacio de funciones medibles cuadrado-integrables complejo-valoradas en X, módulo el subespacio de esas funciones cuya integral cuadrática sea cero, o equivalentemente igual a cero casi por todas partes. cuadrado integrable significa que la integral del cuadrado de su valor absoluto es finita. módulo igualdad casi por todas partes significa que las funciones son identificadas si y sólo si son iguales salvo un conjunto de medida 0.

El producto interior de las funciones f y g se da como

$\langle f,g\rangle=\int_X \overline{f(t)} g(t) \ d \mu(t)$

Uno necesita demostrar:

Que esta integral tiene de hecho sentido.

Que el espacio que resulta es completo.

Éstos son hechos técnicamente fáciles. Obsérvese que al usar la integral de Lebesgue se asegura de que el espacio sea completo. Vea espacios L^p para discusión adicional de este ejemplo.

Espacios de Sobolev

Los espacios de Sobolev, denotados por $H s$ es otro ejemplo de espacios de Hilbert, que se utilizan muy a menudo en el marco de las ecuaciones en derivadas parciales.

Operaciones en los espacios de Hilbert

Dado dos (o más) espacios de Hilbert, podemos combinarlos en un espacio más grande de Hilbert tomando su suma directa o su producto tensorial.

Bases

Un concepto importante es el de una base ortonormal de un espacio de Hilbert H: esta es una familia {e_k}_{k ∈ B} de H 'satisfaciendo:

los elementos están normalizados: Cada elemento de la familia tiene norma 1: ||e_k|| = 1 para todo k en B

los elementos son ortogonales: Dos elementos cualesquiera de B son ortogonales, esto quiere decir: <e_k, e_j> = 0 para todos los k, j en B cumpliendo la condición j ≠ k.

expansión densa: La expansión lineal de B es densa en H.

secuencia ortonormal

conjunto ortonormal

el conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} forma una base ortonormal de R³

la secuencia {f_n: n ∈ Z} con f_n(x) = exp(2πinx) forma una base ortonormal del espacio complejo L²([0, 1])

la familia {e_b: b ∈ B} con e_b(c) = 1 si b = c y 0 en caso contrario, forma una base ortonormal de l²(B).

cada

espacio de Hilbert

_{k ∈ B}

$x = \sum_{k \in B} \langle e_k , x \rangle e_k$

expansión de Fourier

_{k ∈ B}

isomorfo

$\langle \Phi \left(x\right), \Phi\left(y\right) \rangle = \langle x, y \rangle$

Complementos y proyecciones ortogonales

Si S es un subconjunto del espacio de Hilbert H, definimos el conjunto de vectores ortogonales a S

$S^\mathrm{perp} = \left\{ x \in H : \langle x, s \rangle = 0\ \forall s \in S \right\}$

S^perp es un subespacio cerrado de H y forma por tanto un espacio de Hilbert. Si V es un subespacio cerrado de H, entonces el V^perp se llama el complemento ortogonal de V. De hecho, cada x en H puede entonces escribirse unívocamente como x = v + w con v en V y w en V^perp. Por lo tanto, H es la suma directa interna de Hilbert de Vy V^perp. El operador lineal P_V : H → H que mapea x a v se llama la proyección ortogonal sobre V.

Teorema. La proyección ortogonal P_V es un operador lineal auto-adjunto en H con norma ≤ 1 con la propiedad P_V² = P_V. Por otra parte, cualquier operador lineal E auto-adjunto tal que E² = E es de la forma P_V, donde V es el rango de E. Para cada x en H, P_V(x) es el elemento único v en V que minimiza la distancia ||x - v||.

Esto proporciona la interpretación geométrica de P_V(x): es la mejor aproximación a x por un elemento de V.

Reflexividad

Una propiedad importante de cualquier espacio de Hilbert es su reflexividad. De hecho, más es verdad: uno tiene una descripción completa y conveniente de su espacio dual (el espacio de todas las funciones lineales continuas del espacio H en el cuerpo base), que es en sí mismo un espacio de Hilbert. De hecho, el teorema de representación de Riesz establece que para cada elemento φ del H ' dual existe un y solamente un u en H tal que

$\phi \left(x\right) = \langle u, x \rangle$

para todo x en H y la asociación φ ↔ u proporciona un isomorfismo antilineal entre H y H '. Esta correspondencia es explotada por la notación bra-ket popular en la física pero que hace fruncir el ceño a los matemáticos.

Operadores acotados

Para un espacio H de Hilbert, los operadores lineales continuos A: H → H son de interés particular. Un tal operador continuo es acotado en el sentido que mapea conjuntos acotados a conjuntos acotados. Esto permite definir su norma como

$\lVert A \rVert = \sup \left\{\,\lVert Ax \rVert : \lVert x \rVert \leq 1\,\right\}.$

La suma y la composición de dos operadores lineales continuos son a su vez continuas y lineales. Para y en H, la función que envía x a <y, Ax> es lineal y continua, y según el teorema de representación de Riesz se puede por lo tanto representar en la forma

$\langle A^* y, x \rangle = \langle y, Ax \rangle.$

Esto define otro operador lineal continuo A^*: H → H, el adjunto de A.

El conjunto L(H) de todos los operadores lineales continuos en H, junto con la adición y las operaciones de composición, la norma y la operación adjunto, formas una C^*-álgebra; de hecho, éste es el origen de la motivación y el más importante ejemplo de una C^*-álgebra.

Un elemento A en L(H) se llama auto-adjunto o hermitiano si A^* = A. Estos operadores comparten muchas propiedades de los números reales y se ven a veces como generalizaciones de ellos.

Un elemento U de L(H) se llama unitario si U es inversible y su inverso viene dado por U^*. Esto puede también ser expresado requiriendo que <Ux, Uy> = <x, y> para todos los x, y en H. Los operadores unitarios forman un grupo bajo composición, que se puede ver como el grupo de automorfismos de H.

Operadores no acotados

En mecánica cuántica, uno también considera operadores lineales que no necesariamente son continuos y que no necesariamente están definidos en todo espacio H. Uno requiere solamente que se definan en un subespacio denso de H. Es posible definir a operadores no acotados auto-adjuntos, y éstos desempeñan el papel de los observables en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Ejemplos de operadores no acotados auto-adjuntos en el espacio de Hilbert L²(R) son:

Una extensión conveniente del operador diferencial

$[A f](x) = - i \frac{d}{dx} f(x), \quad$

donde i es la unidad imaginaria y f es una función diferenciable de soporte compacto.

El operador de multiplicación por x:

$[B f] (x) = xf(x).\quad$

éstos corresponden a los observables de momento y posición, respectivamente, expresados en unidades atómicas. Observe que ni A ni B se definen en todo H, puesto que en el caso de Ala derivada no necesita existir, y en el caso de B la función del producto no necesita ser cuadrado-integrable. En ambos casos, el conjunto de argumentos posibles forman subespacios densos de L²(R).

Referencias

Dieudonne, Jean Alexandre. Fundamentos de análisis moderno. — Barcelona. Buenos Aires : Reverté, 1966 . — 359 p.

Categoría: Mecánica cuántica

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