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Expansión isotérmica



Una expansión isotérmica es un proceso en el cual una gas se expande (o contrae), manteniendo la temperatura constante durante dicho proceso, es decir que T1 = T2 para los estados inicial (1) y final (2) del proceso isotérmico. Aplicando el primer principio de la termodinámica se obtiene:

dQ = dU + dW


Entonces integrando la expresión anterior, tomando como estado inicial el estado 1 y estado final el estado 2, se obtiene:


\int_{1}^{2} \, dQ = \int_{1}^{2} \, dU + \int_{1}^{2} \, dW ..........(1)


Por la definición de trabajo dada en mecánica se tiene que:

dW = \vec F\;\cdot\;d\vec r\;

Pero la fuerza \vec F\; se puede expresar en función de la presión que se ejerce el gas, y el desplazamiento d\vec r\; se puede escribir como dx, entonces:

dW = \vec F\;\cdot\;d\vec r\; = PAdx

Pero Adx equivale a dV, el aumento en el volumen del gas durante esta pequeña expansión, entonces el trabajo efectuado por el gas sobre los alrededores como resultado de la expansión es:

dW = PAdx = PdV ..........(2)

Ahora reemplazando (1) en (2) se puede integrar:

\int_{1}^{2} \, dQ = \int_{1}^{2} \, dU + \int_{1}^{2} \, PdV ..........(3)

Pero para integrar la tercera integral, es necesario conocer la forma de variación de la presión P con el volumen, durante el proceso tratado. En este caso, la relación buscada se obtiene directamente de la ecuación de estado de los gases ideales:

PV = nRT \Longrightarrow \; P = \frac{nRT}{V} ..........(4)

Por lo tanto reemplazando (4) en (3) se tiene que:

\int_{1}^{2} \, dQ = \int_{1}^{2} \, dU + \int_{1}^{2} \, \frac{nRT}{V}dV

Como los valores n y R son constantes para cada gas ideal, y en este caso la temperatura también es constante, éstas pueden salir fuera de la integral obteniéndose:

\int_{1}^{2} \, dQ = \int_{1}^{2} \, dU + nRT\int_{1}^{2} \, \frac{dV}{V}

Ahora integrando:

[Q]_1^2 = [U]_1^2 + nRT[\ln V]_1^2
\Longrightarrow \; Q_2 - Q_1 = U_2 - U_1 + nRT(\ln V_2 - \ln V_1)
\Longrightarrow \; Q_2 - Q_1 = U_2 - U_1 + nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right ) ..........(5)

Pero se sabe que la energía interna depende sólo de la temperatura (Ver: La energía interna como función de la temperatura), y como en este proceso ésta se mantiene constante, no hay cambio en la energía interna del gas, por lo que la expresión (5) se reduce a:

Q_2 - Q_1 = U_1 - U_1 + nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right )
\Longrightarrow \;Q_2 - Q_1 = nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right )
\Longrightarrow \;\Delta\;Q = \Delta\;W = nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right )

Por lo tanto, en una expansión isotérmica, el calor de entrada es igual al trabajo efectuado por el gas.

Véase también
 
Este articulo se basa en el articulo Expansión_isotérmica publicado en la enciclopedia libre de Wikipedia. El contenido está disponible bajo los términos de la Licencia de GNU Free Documentation License. Véase también en Wikipedia para obtener una lista de autores.
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