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Formulación matemática de la mecánica cuántica

La formulación matemática rigurosa de la mecánica cuántica fue desarrollada por Paul Adrien Maurice Dirac y John von Neumann. Dicha formulación canónica se basa en un conjunto de media docena de postulados (dependiendo de la formulaciones). Este artículo presenta una enumeración más o menos canónica de dichos postulados fundamentales.

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Tabla de contenidos

1 Postulado I
2 Postulado II
3 Postulado III
- 3.1 Principio de incertidumbre
4 Postulado IV
5 Postulado V
6 Postulado VI
7 Nomenclatura usada
8 Véase también

Postulado I

Todo estado cuántico está representado por un vector normal, llamado vector de estado, en un espacio de Hilbert complejo y separable. Fijada una base de Hilbert se puede representar el estado de las siguientes formas:

Forma ket: $| \psi \rangle = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{pmatrix}$

Forma bra: $\langle \psi| = (\bar{a_1}\ \bar{a_2}\ \cdots)$ (Donde la barra significa conjugado).

El estado cuántico normalizado debe cumplir: $\|\psi\|^2=\langle\psi|\psi\rangle=1$ . La elección del estado normalizado no es única ya que $|\psi \rangle$ y $e^{i\theta}|\psi \rangle$ representan el mismo estado ya que la medida de cualquier magnitud en ellos es idéntica.

Más información en: Notación bra-ket

Postulado II

Los observables de un sistema están representados por operadores lineales hermíticos (autoadjuntos). El conjunto de autovalores (valores propios) del observable A recibe el nombre de espectro y sus autovectores (vectores propios), exactos o aproximados, definen una base en el espacio de Hilbert.

En dimensión finita, los autovalores se encuentran igualando a cero el siguiente determinante: $|A - \lambda \mathbb{I}| =0$

Y los autovectores resolviendo el siguiente sistema de n ecuaciones: $A \cdot a_i = \lambda_i \cdot a_i \qquad \forall i=1,2, \ldots ,n$

En la práctica, el espacio de Hilbert de la mayoría de sistemas reales es de dimensión no finita y el cálculo de autovalores y autovectores es un problema matemático mucho más complicado, que el que debe hacerse en dimensión finita.

Postulado III

Cuando un sistema está en el estado $|\psi\rangle$ , la medida de un observable A dará como resultado el valor propio a, con una probabilidad $P_{A| \psi \rangle} = |\langle a | \psi \rangle|^2$ , donde $|a\rangle$ es el vector propio que representa el observable A.

Como consecuencia de este postulado el valor esperado será: $\langle A \rangle_{|\psi \rangle} = \sum_{i} \lambda_i |\langle a_i | \psi \rangle|^2 = \langle \psi | A| \psi \rangle$

Llamaremos dispersión o incertidumbre a la raíz cuadrada de la varianza. Ésta se calcula así: $\Delta_{|\psi\rangle}A = \sqrt{\langle \psi | A^2| \psi \rangle - \langle \psi | A| \psi \rangle^2}$

Principio de incertidumbre

Artículo principal: Principio de indeterminación de Heisenberg

El producto de las dispersiones de dos observables sobre el mismo estado está acotado.

$\Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2} \langle \psi | [A,B]| \psi \rangle$

Para el caso de los observables típicos de posición (X) y momento (P_x) tenemos:

$\Delta X \Delta P_x \ge \frac{\hbar}{2}$

Esto es porque las variables X y P_x son canónicas conjugadas, es decir que el conmutador $[X,P_x]=i \hbar$ .

Postulado IV

Para cualquier estado $|\psi\rangle$ sobre el cual se hace una medida de A que filtra al estado $|a_i\rangle$ , pasa a encontrarse precisamente en ese estado $|a_i\rangle$ , si no se ha destruido durante el proceso.

Éste es el postulado más conflictivo de la mecánica cuántica ya que supone el colapso instantáneo de nuestro conocimiento sobre el sistema al hacer una medida filtrante.

Postulado V

La evolución temporal de un sistema se rige por la ecuación de Schrödinger:

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \mathcal{H} |\psi(t)\rangle$

Donde H es el operador de Hamilton o hamiltoniano del sistema, que corresponde a la energía del sistema.

Postulado VI

Los operadores de posición y momento satisfacen las siguientes reglas de conmutación:

$[X_i,X_j]=0 \qquad [P_i,P_j]=0 \qquad [X_i,P_j]=i\hbar \delta_{ij}\mathbb{I}$

Nomenclatura usada

$|\psi \rangle \rightarrow$ Estado cuántico
$A \rightarrow$ Observable
$\lambda_i \rightarrow$ Autovalor
$a_i \rightarrow$ Autovector
$\mathbb{I} \rightarrow$ Matriz identidad
$\hbar\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{h}{2\pi} = \,\,\, 1.054\ 571\ 68(18)\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}$ Constante reducida de Planck (h-barra)
$[A,B] = AB - BA \rightarrow$ Conmutador

Véase también

Mecánica cuántica
Espacio de Hilbert, Hamiltoniano (mecánica cuántica).
Observable, Espectro de un operador.

Categoría: Mecánica cuántica

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