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Modelo_atómico_de_Schrödinger

Modelo atómico de Schrödinger

El modelo atómico de Schrödinger es un modelo cuántico no relativista se basa en la solución de la ecuación de Schrödinger para un potencial electrostático con simetría esférica, llamado también átomo hidrogenoide.

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El modelo de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno. En los espectros realizados para otros átomos se observaba que electrones de un mismo nivel energético tenían distinta energía. Algo andaba mal. La conclusión fue que dentro de un mismo nivel energético existían subniveles.

En 1916, Arnold Sommerfeld modifica el modelo atómico de Bohr, en el cual los electrones sólo giraban en órbitas circulares, al decir que también podían girar en orbitas elipticas.

Todavía Chadwick no había descubierto los neutrones, por eso en los dibujos de representación de los atomos sólo se representaban, en rojo, los protones.

Solución de la ecuación de Schrödinger

Artículo principal: átomo hidrogenoide

Las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger en un campo central electrostático, están caracterizadas por tres números cuánticos (n, l, m) que a su vez están relacionados con lo que en el caso clásico corresponderían a las tres integrales del movimiento independientes de una partícula en un campo central. Estas soluciones o funciones de onda normalizadas vienen dadas en coordenadas esféricas por:

$\psi_{nlm}(\theta,\phi,r) = \sqrt {{\left ( \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]}2} e^{- \rho / 2} \rho^{l} L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \cdot Y_{l,m}(\theta, \phi )$

donde:

$\rho = {2r \over {na_0}}$

a 0

es el radio de Bohr.

$L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$ son los polinomios generalizados de Laguerre de grado n-l-1.

$Y_{l,m}(\theta, \phi ) \,$ es el armónico esférico (l, m).

Los autovalores son:

Para el operador momento angular:

$L^2 | n, l, m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) | n, l, m \rang$

$L_z | n, l, m \rang = \hbar m | n, l, m \rang$

Para el operador hamiltoniano:

$H| n, l, m \rang = E_n | n, l, m \rang$

donde:

$E_n = -{{m c^2 Z^2 \alpha^2} \over {2 \cdot n^2}} = - {{m \over 2 \hbar^2}\left({Z e^2 \over 4 \pi \epsilon_0}\right)^2{1 \over n^2}}$

α es la constante de estructura fina con Z=1.

Véase también

Categoría: Modelos atómicos

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