Momento angular

El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular.

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Tabla de contenidos

1 Momento angular en mecánica clásica
2 Momento angular en mecánica relativista
3 Momento angular en mecánica cuántica
- 3.1 Conservación del momento angular cuántico
4 Véase también

Momento angular en mecánica clásica

En mecánica newtoniana,la cantidad de movimiento angular de una masa puntual, es igual al producto vectorial del vector de posición $\scriptstyle{\vec r}$ (brazo), del objeto en relación a la recta considerada como eje de rotación, por la cantidad de movimiento $\scriptstyle{\vec p}$ (también llamado momento lineal o momento). Frecuentemente se lo designa con el símbolo $\scriptstyle{\vec L}$ :

$\vec L=\vec r \times\vec p = \vec r\times m\vec v$

En ausencia de momentos de fuerzas externos, el momento angular de un conjunto de partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para partículas subatómicas como para galaxias.

Momento angular de una masa puntual

En el dibujo de derecha vemos una masa $\scriptstyle{m}$ que se desplaza con una velocidad instantánea $\scriptstyle{\vec v}$ . El momento angular de esta partícula, con respecto a la recta perpendicular al plano que contiene $\scriptstyle{\vec r}$ y $\scriptstyle{\vec v}$ es, como ya se ha escrito:

$\vec L = \vec r \times m\vec v \,$

El vector $\scriptstyle{\vec L}$ es perpendicular al plano que contiene $\scriptstyle{\vec r}$ y $\scriptstyle{\vec v}$ , luego es paralelo a la recta considerada como eje de rotación. En el caso del dibujo, el vector momento angular sale del dibujo y va hacia el observador. Véase producto vectorial y regla del sacacorchos.

El módulo del momento angular es:

$L=mrv\sin\theta=p\,r\sin\theta=p\,\ell\,$

Es decir, el módulo es igual al momento lineal multiplicado por su brazo ( $\scriptstyle{\ell}$ en el dibujo), el cual es la distancia entre el eje de rotación y la recta que contiene la velocidad de la partícula. Por esta razón, algunos designan el momento angular como el "momento del momento".

Dependencia temporal

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

${d\vec L\over dt}={d\ \over dt}(\vec r\times \vec p)= \left({d\vec r\over dt}\times \vec p \right)+\left( \vec r\times{d\vec p\over dt}\right) \,$

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de $\scriptstyle{\vec r}$ con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad $\scriptstyle{\vec v}$ . Y como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento $\scriptstyle{\vec p}$ , el producto vectorial de los dos es cero. Nos queda el segundo paréntesis:

${d\vec L\over dt}=\vec r\times{d\over dt}\vec p=\vec r\times{d\over dt}m\vec v=\vec r\times(m\vec a) \,$

donde $\scriptstyle{\vec a}$ es la aceleración. Pero $\scriptstyle{m\vec a=\vec F}$ , la fuerza aplicada a la masa. Y el producto vectorial de $\scriptstyle{\vec r}$ por la fuerza es el torque o momento de fuerza aplicado a la masa:

${d\vec L\over dt}=\vec r\times \vec F=\vec \tau\,$

La derivada temporal del momento angular es igual al torque aplicado a la masa puntual.

Momento angular de un conjunto de partículas puntuales

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

$\vec L=\sum \vec L_i \,$

La variación temporal es:

${d\vec L\over dt}=\sum{d\vec L_i\over dt}=\sum\vec\tau_i \,$

El término de derecha es la suma de todos los torques producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los torques producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los torques de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los torques externos:

${d\vec L\over dt}=\sum{d\vec L_i\over dt}=\vec\tau_{ext.} \,$

El momento angular de un conjunto de partículas se conserva en ausencia de torques externos.

Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

Momento angular de un sólido rígido

Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\mathbf{I}(t) \vec{\omega}(t)\right]$

Donde:

$\scriptstyle{\vec \omega}$ es la velocidad angular del sólido.
$\scriptstyle{\mathbf{I}}$ es el tensor de inercia del cuerpo.

Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia $\mathbf{I}$ , depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:

${d\vec L\over dt} \ne \mathbf{I}{d\vec{\omega} \over dt} =\mathbf{I}\vec{\alpha}$

Donde $\scriptstyle{\vec \alpha}$ es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que $\mathbf{I} = \mbox{cte.}$ , aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

${d\vec L\over dt} = \mathbf{I}{d \vec{\omega} \over dt} + \vec{\omega} \times (\mathbf{I} \vec{\omega})$

Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular.

Conservación del momento angular clásico

Cuando la suma de los torques externos es cero $\scriptstyle{\vec \tau=0}$ , hemos visto que:

${d\vec L\over dt}= 0\,$

Eso quiere decir que $\scriptstyle{\vec L=\mathrm{ constante}}$ . Y como $\scriptstyle{\vec L}$ es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es $\scriptstyle{I_1}$ y su velocidad angular $\scriptstyle{\vec\omega_1}$ . Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un torque externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea $\scriptstyle{I_2}$ , su velocidad angular cambiará de manera tal que:

$\mathbf{I}_1\vec\omega_1 = \mathbf{I}_2\vec\omega_2 \,$

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación.

Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:

En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida de manera de aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite de disminuir la velocidad de rotación. Lo mismo para el salto de plataforma o el trampolín.
Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los torques externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños torques inevitables, como el producido por el viento solar.
Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en pulsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.
Debido a la mareas, la luna ejerce un torque sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía alejándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.

Ejemplo

En el dibujo de derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin frotamientos y no tenemos cuenta de la gravedad.

La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un torque sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de torques externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.

En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio $\scriptstyle{R_1}$ en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un impulso, es decir una fuerza aplicada durante un momento. Ese impulso comunica una velocidad radial $\scriptstyle{\Delta V}$ a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente $\scriptstyle{V}$ con $\scriptstyle{\Delta V}$ . La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia $\scriptstyle{R_2}$ , cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio $\scriptstyle{R_2}$ . En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son semejantes. Lo cual nos permite de escribir:

${V_2\over V_1}={R_1\over R_2} \,$

o sea:

$V_1R_1=V_2 R_2 \,$

Y, si multiplicamos por la masa $\scriptstyle{m}$ , obtenemos que el momento angular se ha conservado, como lo esperábamos:

$mV_1R_1=mV_2 R_2 \,$

Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa.

También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suelta el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo, comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó.

No es necesario de hacer la experiencia dando un tirón. Se la puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.

Momento angular en mecánica relativista

En mecánica newtoniana el momento angular es un pseudovector o vector axial, por lo que en mecánica relativista debe ser tratado como el dual de Hodge de las componentes espaciales de un tensor antisimétrico. Una representación del momento angular en la teoría especial de la relatividad es por tanto como cuadritensor antisimétrico:

$\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0 & ctp_x - Ex/c & ctp_y - Ey/c & ctp_z - Ez/c \\ Ex/c - ctp_x & 0 & xp_y - yp_x & xp_z - zp_x \\ Ey/c - ctp_y & yp_x - xp_y & 0 & yp_z - yp_z \\ Ez/c - ctp_z & zp_x - xp_z & zp_y - yp_z & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & r_x & r_y & r_z \\ -r_x & 0 & L_z & -L_y \\ -r_y & -L_z & 0 & L_x \\ -r_z & L_y & -L_x & 0 \end{pmatrix}$

Puede verse que las 3 componentes espaciales forman el momento angular de la mecánica newtoniana $\vec{L} = (L_x, L_y, L_z)$ y el resto de componentes $(r_x, r_y, r_z) \,$ describen el momiviento del centro de masas relativista.

Momento angular en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, se transforma en un operador, análogamente al momento lineal:

$\mathbf{\hat{L}} = - i\hbar \left(\mathbf{r}\times\boldsymbol\nabla \right)$

Usando coordenadas cartesianas las tres componentes del momento angular se expresan en el espacio de Hilbert usual para las funciones de onda, $L^2(\mathbb{R}^3)$ , como:

$\hat{L}_x = - i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right) \qquad \hat{L}_y = - i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right) \qquad \hat{L}_z = - i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)$

En cambio en coordenadas angulares esféricas el cuadrado del momento angular y la componente Z se expresan como:

$\ \hat{L}^2 = -\hbar^2 \left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right] \qquad \hat{L}_z = -i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)$

Las vectores propios o estados propios del momento angular cuántico dependen de dos números cuánticos enteros l y m, se designan como $| l, m \rang$ y satisfacen las relaciones:

$\hat{L}^2 | l, m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) | l, m \rang \qquad \hat{L}_z | l, m \rang = \hbar m | l, m \rang$

Estos vectores propios expresados en términos de las coordenadas angulares esféricas son los llamados armónicos esféricos Y_l,m(θ,φ), que se construyen a partir de los polinomios de Legendre:

$\lang \theta , \phi | l, m \rang = Y_{l,m}(\theta,\varphi) \qquad Y_{l,m}(\theta,\varphi) = N \, e^{i m \varphi } \, P_l^m (\cos{\theta})$

Tienen especial importancia por ser la componente angular de los orbitales atómicos. Finalmente las relaciones de conmutación canónicas para los operadores momento angular son:

$[\hat{L}_i, \hat{L}_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} \hat{L}_k, \qquad \left[\hat{L}_i, \hat{L}^2 \right] = 0$

donde $ε i j k$ es el símbolo de Levi-Civita.

Conservación del momento angular cuántico

Es importante notar que si el hamiltoniano no depende de las variables angulares, como sucede por ejemplo en problemas con potencial de simetría esférica entonces todas las componentes del momento angular conmutan con el hamiltoniano:

$\left[\hat{L}_i, H \right] = 0$

y, como consecuencia, el cuadrado del momento angular también conmuta con el Hamiltoniano:

$\left[\hat{L}^2, H \right] = 0$ .

Y tenemos que el momento angular se conserva, eso significa que a lo largo de la evolución en el tiempo del sistema cuántico la distribución de probabilidad de los valores del momento angular no variará. Nótese sin embargo que como las componentes del momento angular no conmutan entre si no se pueden definir simultáneamente. Sin embargo, si se pueden definir simultáneamente el cuadrado del momento angular y una de sus componentes (habitualmente se elije la componente Z). En particular si tenemos estados cuánticos de momento bien definido estos seguirán siendo estados cuánticos de momento bien definido con los mismos valores de los números cuánticos l y m.

Véase también

Espín

Categoría: Mecánica cuántica

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