Notación cor-chete

La notación cor-chete (también conocida como la notación bra-ket, o notación de Dirac por su inventor Paul Dirac) es la notación estándar para describir los estados cuánticos en la teoría de la mecánica cuántica. Puede también ser utilizada para denotar vectores abstractos y funcionales lineales en las matemáticas puras. Es así llamada porque el producto interior de dos estados es denotado por el corchete angular (angle bracket, en inglés), $\langle\phi|\psi\rangle$ , consistiendo en una parte izquierda, $\langle\phi|$ , llamada el cor, y una parte derecha, $|\psi\rangle$ , llamada el chete.

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Tabla de contenidos

1 Cores y chetes
2 Propiedades
3 Operadores lineales
4 Cores y chetes compuestos
5 Las representaciones en términos de cores y chetes

Cores y chetes

En mecánica cuántica, el estado de un sistema físico se identifica con un vector en el espacio de Hilbert complejo, H. Cada vector se llama un "chete", y se escribe como

$|\psi\rangle$

donde $|\psi\rangle$ denota el chete particular. Cada chete $|\psi\rangle$ tiene un cor dual, escrito como

$\langle\psi|$

esto es una función lineal continua de H a los números complejos C, definido como

$\langle\psi|\rho\rangle = \bigg( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \bigg)$ para todos los chetes $|\rho\rangle$

para todos los chetes $|\rho\rangle$ donde () denota el producto interior definido en el espacio de Hilbert. La notación está justificada por el teorema de representación de Riesz, que establece que un espacio de Hilbert y su espacio dual son isométricamente isomorfos. Así, cada cor corresponde a exactamente un chete, y viceversa.

Incidentemente, la notación cor-chete puede ser utilizada incluso si el espacio vectorial no es un espacio de Hilbert. En cualquier espacio de Banach B, los vectores pueden ser notados como cores y los funcionales lineales continuos por los chetes. Sobre cualquier espacio vectorial sin topología, se puede también denotar los vectores con chetes y los funcionales lineales por los cores. En estos contextos más generales, el corchete no tiene el significado de un producto interno, porque el teorema de representación de Riesz no se aplica. La aplicación del cor $\langle\phi|$ al chete $|\psi\rangle$ da lugar a un número complejo, llamado un "cor-chete" o "corchete", que se escribe

$\langle\phi|\psi\rangle$ .

En mecánica cuántica, ésta es la amplitud de probabilidad para que el estado ψ colapse en el estado φ.

Propiedades

Los cores y chetes se pueden manipular de las maneras siguientes:

Dado cualquier cor $\langle\phi|$ y chetes $|\psi_1\rangle$ y $|\psi_2\rangle$ , y números complejos c₁ y c₂, entonces, puesto que los cores son funcionales lineales,

dado cualquier chete $|\psi\rangle$ , cores $\langle\phi_1|$ y $\langle\phi_2|$ , y números complejos c₁ y c₂, entonces, por la definición de la adición y la multiplicación escalar de funcionales lineales,

dados cualesquiera chetes $|\psi_1\rangle$ y $|\psi_2\rangle$ , y números complejos c₁ y c₂, de las propiedades del producto interno (con c* denotando la conjugación compleja de c),

$c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle$

es dual a $c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|.$

dado cualquier cor $\langle\phi|$ y el chete $|\psi\rangle$ , una propiedad axiomática del producto interno da

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$ .

Operadores lineales

Si A: H → H es un operador lineal, se puede aplicar A al chete $|\psi\rangle$ para obtener el chete $(A|\psi\rangle)$ . Los operadores lineales son ubicuos en la teoría de la mecánica cuántica. Por ejemplo, se utilizan operadores lineales hermíticos para representar cantidades físicas observables, tales como la energía o el momento, mientras que los operadores lineales unitarios representan procesos transformativos como la rotación o la progresión del tiempo. Los operadores pueden también ser vistos como actuando en los cores del lado derecho. La aplicación del operador A al cor $\langle\phi|$ da lugar al cor $(\langle\phi|A)$ , definido como funcional lineal en H por la regla

$\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg)$ .

Esta expresión se escribe comúnmente como

$\langle\phi|A|\psi\rangle.$

Una manera conveniente de definir operadores lineales en H es dada por el producto exterior: si $\langle\phi|$ es un cor y $|\psi\rangle$ es un chete, el producto externo

$|\phi\rang \lang \psi|$

denota un operador que mapea el chete $|\rho\rangle$ al cor $|\phi\rangle\langle\psi|\rho\rangle$ (donde $\langle\psi|\rho\rangle$ es un escalar que multiplica el vector $|\phi\rangle$ ). Una de las aplicaciones del producto externo es para construir un operador de proyección o proyector dado un chete $|\psi\rangle$ de norma 1, la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por $|\psi\rangle$ es

$|\psi\rangle\langle\psi|$

Cores y chetes compuestos

Dos espacios de Hilbert V y W pueden formar un tercer espacio $V \otimes W$ por producto tensorial. En mecánica cuántica, esto se utiliza para describir conjuntos compuestos. Si un conjunto se compone de dos subconjuntos descritos por V y W respectivamente, entonces el espacio de Hilbert del conjunto entero es el producto tensorial de los dos espacios. La excepción a esto es si los subconjuntos son realmente partículas idénticas; en ese caso, la situación es un poco más complicada.

Si $|\psi\rangle$ es un chete en V y $|\phi\rangle$ es un chete en W, el producto tensorial de los dos chetes es un chete en $V \otimes W$ . Esto se escribe como

Las representaciones en términos de cores y chetes

En mecánica cuántica, es a menudo conveniente trabajar con las proyecciones de los vectores de estado sobre una base particular, más bien que con los vectores mismos. Este proceso es muy similiar al uso de vectores coordinados en álgebra lineal. Por ejemplo, el espacio de Hilbert de partículas puntuales de espín cero es generado por una base de posición $\lbrace|\mathbf{x}\rangle\rbrace$ , donde el índice x se extiende sobre el conjunto de los vectores de posición. Partiendo de cualquier chete $|\psi\rangle$ en este espacio de Hilbert, se puede definir una función escalar compleja de x, conocida como función de onda

$\psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|\psi\rang$ .

Es entonces usual definir operadores lineales que actúan sobre funciones de ondas en términos de operadores lineales que actúan en chetes, como

$A \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|A|\psi\rang$ .

Aunque el operador A en el lado izquierdo de esta ecuación, por convención, se etiqueta de la misma manera que el operador en el lado derecho, debe considerarse que los dos son entidades conceptualmente diversas: el primero actúa sobre funciones de ondas, y el segundo actúa sobre chetes. Por ejemplo, el operador de momento p tiene la forma siguiente

$\mathbf{p} \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x} |\mathbf{p}|\psi\rang = - i \hbar \nabla \psi(x)$ .

Se encuentra de vez en cuando una expresión como

$- i \hbar \nabla |\psi\rang$ .

Esto es un abuso de notación, aunque bastante común. El operador diferencial debe ser entendido como un operador abstracto, actuando en chetes, que tiene el efecto de diferenciar funciones de ondas una vez que la expresión se proyecta en la base de posición. Para otros detalles, véase espacio equipado de Hilbert.

Véase también:

Categoría: Mecánica cuántica

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