En álgebra lineal (y en sus aplicaciones a la mecánica cuántica), un operador de subida o de bajada (también conocidos como operadores escalera) es un operador que aumenta o disminuye el autovalor de otro operador. En mecánica cuántica, el operador de subida también se denomina operador de creación mientras que el de bajada se denomina operador de destrucción. Aplicaciones de los operadores escalera se pueden ver en el oscilador armónico cuántico y en el momento angular. Conocimientos adicionales recomendados
PropiedadesSupongamos que dos operadores y tienen una relación de conmutación que es proporcional al operador : siendo un escalar. Entonces el operador actuará de tal forma que desplazará el autovalor y autovector de una cantidad . En efecto: Es decir, si es un autovector de con autovalor , entonces también es un autovector de , pero en este caso con autovalor . Es decir . Si es hermítico (por ejemplo, si es el Hamiltoniano), entonces tiene que ser real. En este caso si es positiva se dice que es un operador de subida, mientras que si es negativa el operador es de bajada. Nótese que si es de subida, entonces su operador adjunto será de bajada y viceversa, ya que obedecen la relación: Aplicación: oscilador armónico cuánticoA continuación veremos la aplicación de los operadores escalera al caso del oscilador armónico cuántico. Así, diagonalizaremos el Hamiltoniano aplicando el álgebra de los operadores escalera. Empezaremos escribiendo el hamiltoniano como: donde es la componente sobre el eje x del operador momento de la partícula. Análisis dimensionalComenzaremos reescribiendo el Hamiltoniano en término de magnitudes adimensionales (para ello se puede aplicar el análisis dimensional). Para ello definiremos las magnitudes que permiten expresar el Hamiltoniano como la suma de formas cuadráticas Esta forma sugiere definir un operador y su adjunto tales que su producto sea proporcional al Hamiltoniano (de manera equivalente a la definición de complejo y complejo conjugado). Así, si definimos el operador de bajada y el de subida es fácil comprobar que la relación de conmutación posición-momento se transforma en y que el Hamiltoniano se puede reescribir como Conviene hacer notar que el término es una consecuencia de que y no conmutan, es decir, del principio de indeterminación. Veremos en lo que sigue que este término da lugar a la energía del punto cero o energía del estado fundamental. Por último, de acuerdo con la expresión anterior, el espectro de está relacionado con el espectro de . En este caso podemos observar que es un operador escalera de bajada, ya que donde se ha tenido en cuenta la relación de conmutación. Valores propios en la representación de energíaPara obtener los valores propios de utilizaremos las siguientes propiedades del espectro de :
Así, los valores propios del operador son los números enteros . Como consecuencia, el espectro de energías del Hamiltoniano del oscilador armónico es Vectores propios en la representación de energíaEl estado fundamentalPodemos utilizar los resultados anteriores para obtener las autofunciones del oscilador armónico. Para obtener el estado fundamental, podemos aplicar el operador escalera de bajada. Asi. como , tenemos . Proyectando sobre podemos expresar dicha ecuación en la representación de coordenadas, . que se puede reescribir como una ecuación diferencial . Así la solución a esta ecuación diferencial permite obtener la función de ondas del estado fundamental donde la constante de normalización se obtiene al imponer , y toma el valor . Estados excitadosPara obtener las funciones de onda de los estados excitados del oscilador armónico, podemos aplicar el operador escalera de subida al estado fundamental. Espectro de los operadores de creación y destrucción
Categoría: Mecánica cuántica |
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