Operador unitario

Un operador unitario definido sobre un espacio de Hilbert es un operador lineal que cumple:

$A^\dagger A = A A^\dagger = I \,\!$

Conocimientos adicionales recomendados

Cómo comprobar rápidamente el rendimiento de las pipetas

Guía de técnicas básicas de medición en el laboratorio

Cómo realizar un pesaje correcto

Valores propios

Como consecuencia de su definición, los valores propios de un operador unitario son fases, es decir, números complejos de módulo unidad.

Demostración

Sea $| a \rangle \,\!$ un vector propio de A con valor propio $\lambda \,\!$ . Consideremos que hemos construido una base ortonormal de forma que $\langle a_i | a_j \rangle = \delta _{i,j}\,\!$ . Entonces tenemos que:

$\langle a | a \rangle = 1\,\!$ ; podemos introducir la identidad $A^\dagger A = I \,\!$

$\langle a | A^\dagger A a \rangle = 1\,\!$ ; pasamos al bra el operador de la izquierda complejo-conjugado

$\langle A a | A a \rangle = 1\,\!$ ; aplicamos que $A |a \rangle = \lambda |a \rangle\,\!$

$\langle \lambda a | \lambda a \rangle = 1\,\!$ ; sacamos los valores propios teniendo en cuenta que el de la izquierda sale complejo-conjugado

$\lambda ^* \lambda \langle a | a \rangle = 1\,\!$ ; como son ortonormales $\langle a | a \rangle = 1\,\!$

Entonces $| \lambda |^2 = 1\,\!$ ; el modulo cuadrado del valor propio es la unidad por tanto $| \lambda | = \pm 1\,\!$

De donde deducimos que el valor propio debe ser una fase: $\lambda = e^{i \phi} \,\!$

Implicaciones en la mecánica cuántica

La aplicación en la mecánica cuántica que debe a que ciertos operadores, como el operador de evolución temporal, se les exige que al aplicarlos sobre un estado dejen invariante la probabilidad. Esto es posible debido a que estos operadores son unitarios. Veamoslo:

Sea $| \psi (0) \rangle$ el estado inicial de un cierto sistema cuántico. El estado evolucionado en un tiempo t vendra dado por la actuación del operador de evolución temporal $U(t)= e^{-\mathrm{i}Ht / \hbar}$ de forma que $| \psi (t) \rangle = U(t) | \psi (0) \rangle$ . Como $U(t)\,\!$ es un operador unitario se cumple que $U(t)^\dagger U(t) = U(t) U(t)^\dagger = I$ . Entonces:

$\langle \psi (t) | \psi (t) \rangle = \langle U(t) \psi (0) | U(t) \psi (0) \rangle = \langle \psi (0) | U(t)^\dagger U(t) \psi (0) \rangle = \langle \psi (0) | \psi (0) \rangle$

Categoría: Mecánica cuántica

Este articulo se basa en el articulo Operador_unitario publicado en la enciclopedia libre de Wikipedia. El contenido está disponible bajo los términos de la Licencia de GNU Free Documentation License. Véase también en Wikipedia para obtener una lista de autores.