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Potencial_de_Lennard-Jones

Potencial de Lennard-Jones

Un par de átomos o moléculas neutros estan sujetos a dos fuerzas distintas en el limite de una gran separación y de una pequeña separación: una fuerza atractiva actúa a grandes distancias (fuerza de Van Der Waals, o fuerza de dispersión) y una fuerza repulsiva actuando a pequeñas distancias (el resultado de la sobreposición de los orbitales electrónicos, conocido como la repulsión de Pauli, del Principio de exclusión de Pauli). El Potencial de Lennard-Jones (También conocido como el potencial L-J, el potencial 6-12 o, con menor frecuencia, como el potencial 12-6) es un modelo matemático sencillo para representar este comportamiento. Fue propuesto en 1924 por John Lennard-Jones.^[1]

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EL potencial L-J es de la forma

$V(r) = 4\epsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right]$

donde $\, \epsilon$ es la profundidad del potencial, $\, \sigma$ es la distancia (finita) en la que el potencial entre partículas es cero y r es la distancia entre partículas.

Estos parámetros pueden ser ajustados para rerpoducir datos experimentales o pueden ser deducidos de resultados muy precisos de cálculos de quimica cuantica. El término $\left(\frac{1}{r}\right)^{12}$ describe la repulsión y el termino $\left(\frac{1}{r}\right)^{6}$ describe la atracción. La función que describe la fuerza a la que estan sujetas las partículas es el negativo del gradiente del potencial arriba descrito

$\mathbf{F}(r) = - \nabla V(r) = - \frac{d}{dr} V(r) \hat{\mathbf{r}} = 4 \epsilon \left( 12\,{\frac {{\sigma}^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac{{\sigma}^{6}}{{r}^{7}}} \right) \hat{\mathbf{r}}$

El potencial de Lennard-Jones es una aproximación. La forma del término que describe la repulsión no tiene ninguna justificación teórica; la fuerza repulsiva debe depender exponencialmente de la distancia, pero el termino de la formula de L-J es mas conveniente debido a la facilidad y eficiencia de calcular r¹² como el cuadrado de r⁶. Su origen físico esta relacionado al principio de exclusión de Pauli: cuando dos nubes electrónicas circulando los átomos se empiezan a sobreponer, la energía del sistema aumenta abruptamente. El exponente 12 fue elegido exclusivamente por su facilidad de calculo.

Formas alternativas

La función del potencial de Lennard-Jones comúnmente se escribe de la siguiente forma:

$V(r) = \epsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right]$

donde

$\, r_{min}$ = $\, 2^{1/6}\sigma$ es la distancia en la que el potencial se encuentra en un mínimo.

La formulación más sencilla, usada comúnmente por software de simulación, es:

$V(r) = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^6}$

donde

$\, A = 4 \epsilon \sigma^{12}$

$\, B = 4 \epsilon \sigma^6$

$\sigma = \left( \frac{A}{B} \right)^{ \frac{1}{6} }$

$\epsilon = \frac{B^2}{4 A}$ .

Simulación de Dinámica Molecular: Potencial truncado

En general, para ahorrar tiempo computacional, el potencial de Lennard-Jones es truncado en la distancia límite de $\displaystyle r_c = 2.5 \sigma$ donde

$\displaystyle V ( r_c ) = V ( 2.5 \sigma ) = 4 \epsilon \left[ \left( \frac {\sigma} {2.5 \sigma} \right)^{12} - \left( \frac {\sigma} {2.5 \sigma} \right)^6 \right] = -0.0163 \epsilon = - \frac {1} {61.3} \epsilon$

(1)

i.e., en $\displaystyle r_c = 2.5 \sigma$ , el potencial LJ $\displaystyle V$ es aproximadamente 1/60 de su valor mínimo $\displaystyle \epsilon$ (profundidad del potencial). Después de $\displaystyle r_c$ , se le asigna el valor 0 al potencial computacional.

Por otro lado, para evitar una discontinuidad en $\displaystyle r_c$ , como se muestra en la ecuación 1, el potencial de LJ es desplazado ligeramente hacia arriba, de tal forma que el potencial computacional sea 0 exactamente en la distancia límite $\displaystyle r_c$ .

Referencias

↑ Lennard-Jones, J. E. Cohesion. Proceedings of the Physical Society 1931, 43, 461-482.

Categorías: Termodinámica | Enlaces químicos | Química computacional

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